A halmazok leleplezése (2. rész) – avagy miképpen működnek a halmazok a számok világában?

Ebben a bejegyzésben olyan halmazokról lesz szó, melyeknek az elemei számok. Kitérünk néhány új – elengedhetetlen – fogalomra és magyarázatára, valamint megnézzük, hogy hogyan tudjuk meghatározni egy-egy halmaz elemeit.

Lássunk is neki.
Először határozzunk meg néhány halmazt szövegesen, majd az elemeinek felsorolásával.
U = {28-nál kisebb, pozitív egész számok}
A = {2-vel osztható számok}
B = {3-mal osztható számok}

Általában az ‘U’ jelölést használjuk az “alaphalmaz” jelölésére.
Mi is az az alaphalmaz?

Alaphalmaz: azon elemek összessége, melyekkel a vizsgálódást végezzük.

Vagyis azoknak az elemeknek a sora, amelyeket választhatjuk akár az ‘A’, akár a ‘B’ halmaz elemének is. Más elemekre hiába is teljesülne a megadott feltétel, mégsem kerülhet bele a halmazokba. Tehát, ha egy elem nincs benne az alaphalmazban, azt nem vizsgálhatjuk – nem foglalkozhatunk vele.

A fentiek alapján hogyan is határozhatjuk meg, hogy mely elemek tartoznak az egyes halmazokba? Csakis úgy, hogy először megnézzük, hogy mely elemek tartoznak az alaphalmazba, majd pedig azokat egyesével vizsgálva kiderítjük, hogy igaz-e rá az adott tulajdonság.

Az alaphalmaz elemei – a leírás szerint – egyrészt pozitív egész számok (az egyes számhalmazokról egy másik bejegyzésben írok), tehát: 1, 2, 3, … egészen a +végtelenig; másrészt 28-nál kisebbek, vagyis az utolsó elem csak a 27 lehet. (Ugyanis a következő, a 28 már nem kisebb, hanem egyenlő a 28-cal. 🙂 )

Mindezeket figyelembe véve tehát:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27}.

Mivel már ismerjük az alaphalmaz elemeit, most egyesével ellenőrizzük, hogy mely elemek rendelkeznek az ‘A’ halmaz tulajdonságával, vagyis: melyek oszthatók 2-vel? Ekkor természetesen megkapjuk, hogy a páros számokra teljesül-e ez a feltétel.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26}

Most az alaphalmaz elemeit egyesével ellenőrizzük, hogy melyikre igaz a ‘B’ halmaz tulajdonsága, azaz melyek oszthatók 3-mal?
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}

Annak érdekében, hogy könnyebben átláthassuk a halmazok elemeit, készítsünk ún. Venn-diagramot. Ezt láthatjuk a következő ábrán:

Két halmaz lehetséges kölcsönös helyzete
1. ábra

Az 1. ábra képei azt mutatják, hogy két halmaz – legtöbbször – milyen viszonyban van egymással:
1/a: két halmaz, melyeknek nincs közös része
1/b: két halmaz, melyeknek van közös része
1/c: két halmaz, melyek közül az egyik tartalmazza a másikat

 
2. ábra

A 2. ábra képei azt mutatják, hogy – legtöbbször – hogyan ábrázoljuk két vagy három halmaz kapcsolatát:
2/a: két halmaz az alaphalmazon belül, melyeknek van közös része
2/b: három halmaz az alaphalmazon belül, melyeknek van közös része

A Venn-diaram értelmezéséhez, kitöltéséhez használjuk fel az előbbi példánkat.
FONTOS, hogy a Venn-diagramban minden elem csak egyszer szerepelhet, hiába van mindhárom halmazban pl. a 12, csak egyszer írhatjuk be az ábrába – természetesen a megfelelő helyre.

Ennek alapján az alaphalmazba kerülnek az egész számok 1-től 27-ig, mégpedig úgy, hogy a számokat a megrajzolt ábra pontosan egy területére írjuk. Ehhez egyesével célszerű megvizsgálni az alaphalmaz elemeit, hogy melyik halmaz tulajdonsága teljesül rá. Így négy eset közül kell teljesülnie az egyiknek:
a: Ha csak az ‘A’ halmaz tulajdonsága, akkor arra a területre írjuk, ami csak az ‘A’ halmaz elemeit jelöli.
b: Ugyanígy a ‘B’ halmaz esetében is.
c: Ha mind a kettő halmaz tulajdonsága igaz rá, akkor abba a részbe írjuk, ami az ‘A’ halmazhoz is ÉS a ‘B’ halmazhoz is hozzátartozik, azaz “középre” kerül.
d: Végül, ha sem az ‘A’, sem a ‘B’ halmaz tulajdonsága nem teljesül rá, akkor az alaphalmazon belül, de az ‘A’ és ‘B’ halmazokon kívül kell elhelyezni.

3. ábra

Sorrendben haladva az 1-re a d eset teljesül, a 2-re az a, a 3-ra a b, 4-re az a, 5-re a d, 6-ra a c, 7-re a d, és így tovább, míg el nem érünk az alaphalmaz utolsó eleméig, a 27-ig, amire pedig a b eset teljesül. A végeredményt a 3. ábra mutatja.

Ennek az ábrázolásnak nagy előnye, hogy ebből gyorsabban tudunk következtetéseket levonni, mintha csak felírtuk volna az egyes halmazok elemeit. Ám a jegyzetekben, könyvekben való megjelenítése sokkal nehezebb a rajzos forma (kép) miatt.

 

Címke , , , .Könyvjelzőkhöz Közvetlen link.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.